Nämnare bråkräkning

Exempel 2

1. \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
2. \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}

Exempel 4

1. Beräkna \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.
   
   Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt

   \displaystyle \left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\} \quad\Rightarrow\quad \text{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}

   Vi kan då skriva

   \displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}

2. Beräkna \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.
   
   Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18

   \displaystyle \left. Om \displaystyle \tfrac{1}{2} delas i 5 så blir resultatet \displaystyle \tfrac{1}{10}. Då kan du först skriva om så det står på gemensam nämnare och då är det största bråktalet det tal som har störst täljare. Därför kan vi nu subtrahera dem: $$ \frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}$$ 3/6 är inte skrivet i sin enklaste form, eftersom både täljaren och nämnaren kan divideras med 3. Exempel 9 \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6 \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3} \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15} \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6} Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation? \displaystyle \tfrac{1}{3} multipliceras med 2 så blir resultatet \displaystyle \tfrac{2}{3}, dvs. Därför får vi det här: $$ \frac{4}{7}+\frac{2}{7}=\frac{4+2}{7}=\frac{6}{7}$$ Summan av 4/7 och 2/7 är alltså 6/7. Därför kan vi skriva om bråktalet till blandad form. Nej, det är det inte, eftersom vi kan dividera både täljaren (2) och nämnaren (6) med 2. Exempel 5 \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7} \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15} Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är möjligt att förkorta bråket. Vad som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget. Om vi skriver ett bråktal på blandad form så skriver man hur många hela bråket motsvarar följt av resten av andelarna. Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade nämnarna med varandra. Ett bra sätt för dig att komma ihåg detta är att tänka att ”t som i tak och täljare” och ”n som i nämnare och nere”. Det är uppenbart att om t.ex. Exempel 3 \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12} - \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(} \displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60} \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60} \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6} + \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6} - \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(} \displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24} \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24} Videosnutt om MGN Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om nämnarna är av rimlig storlek. Exempel 6 Jämför uträkningarna: \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5} \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5} Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede. Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles. I vårt vardagliga språkbruk används också bråk när man beskriver andelar av något. Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia Bråkräkning - Fri text Länktips Experimentera interaktivt med bråk Spela primtalskanonen . Talet a kallas för täljare och talet b kallas för nämnare. Det innebär att vi hade kunnat skriva termerna i artondelar, men svaret hade ändå blivit likadant i sin enklaste form, 1/2.) Videolektioner I den här videon går vi igenom addition och subtraktion av bråk med samma nämnare. I den här videon går vi igenom addition och subtraktion av bråk med olika nämnare. Här tittar vi mer på hur man adderar och subtraherar bråktal med hjälp av förlängning/förkortning. Läs sidan på andra språk Här sammanfattar vi alla våra lektioner om bråk. Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler (x, y, ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.